ときどき楽しむ数学

整数論

集合論①・整数論①

実数集合$\mathbb{R}$とその部分集合集合といわれるとパッと思いつくのは，実数集合$\mathbb{R}$か整数集合$\mathbb{Z}$だろうか？それとも自然数集合$\mathbb{N}$だろうか？実数集合にはその部分集合に重要...

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2025.06.21

整数論② ペアノの公理系

ペアノの公理自然数の集合$\mathbb{N}$と定数0，関数$S$と集合$E$に関する自然数全体を特徴づける次の公理系をペアノの公理という．つまり，ペアノの公理を満たす集合$N$を自然数全体の集合といい，その集合の要素を自然数という．ペア...

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2025.06.21

整数論③ ピタゴラス数の性質

ピタゴラス数の定義$a^2+b^2=r^2$を満たすような正の整数$(a,b,r)$の組をピタゴラス数という．$a^2+b^2=r^2$は幾何的には三平方の定理としてもよく知られている．三平方の定理はピタゴラスの定理ともいう．直角三角形には...

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2025.06.28

整数論④　約数・倍数・素数

倍数・約数・素数・合成数の定義以下，$a,b\in \mathbb{Z}$とする．$a\neq 0$であるとき，$b=an$となるような$n\in\mathbb{Z}$があれば，$b$を$a$の倍数，$a$を$b$の約数という．$p\neq...

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2025.07.14

集合論

集合論①・整数論①

実数集合$\mathbb{R}$とその部分集合集合といわれるとパッと思いつくのは，実数集合$\mathbb{R}$か整数集合$\mathbb{Z}$だろうか？それとも自然数集合$\mathbb{N}$だろうか？実数集合にはその部分集合に重要...

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2025.06.21

集合論② 集合とは

集合例えば\や\のような，いくつかの数（要素）の集まりのことを集合という．集合$A$の要素が,2,3,\dots $であったとき，\と波括弧を用いて表す．この集合の要素のことを元ということもある．上記の集合$A$は自然数（正整数）の集合...

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2025.06.25

集合論③・微分積分①・複素解析① 区間とは

区間とは区間とは実数全体の集合$\mathbb{R}$の部分集合$I$で，任意の$x,y\in I$と$z\in \mathbb{R}$に対して，$x<z<y$ならば$z\in I$という条件を満たすものである．両端を含むか否かで開区間と閉...

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2025.06.25

集合論④・複素解析② 複素数の導入

集合論①の続きでもあるが，集合論①では実数全体の集合の部分集合として見ていったものを，今度は自然数から新たな数を導入することによって複素数の集合を考えていく．自然数の集合$\mathbb{N}$自然数は\であるが，この自然数全体のなす集合を...

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2025.06.29

群・体・環

群論① 群の定義・可換群（アーベル群）

群の定義集合$G(\neq \varnothing)$に対して二項演算$\cdot$が定められていて，以下3つの条件をすべて満たすとき，$G$（二項演算と合わせて$(G,\cdot)$）を群という．【結合法則】任意の$a,b,c\in G$...

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2025.06.21

群論② 対称群・部分群の定義

対称群の定義$\Omega_n=\{1,2,3,\dots,n\}$として$\Omega_n$から$\Omega_n$への全単射全体の集合を$S_n$とおく．$S_n$は写像の合成に関して群になる．この群$S_n$を$n$次対称群という．部...

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2025.06.21

線形代数

線形代数① 行列の定義

行列の定義\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdo...

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2025.06.21

線形代数 2 ベクトル空間

定義集合$V$が次の2つの性質をもつとき，$V$は$K$上のベクトル空間であるという．$x,y\in V$に対して，加法$x+y\in V$が定義されている．$x\in V$と任意の$\alpha\in K$に対して，スカラー積$\alph...

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2025.07.21

微分積分

集合論③・微分積分①・複素解析① 区間とは

区間とは区間とは実数全体の集合$\mathbb{R}$の部分集合$I$で，任意の$x,y\in I$と$z\in \mathbb{R}$に対して，$x<z<y$ならば$z\in I$という条件を満たすものである．両端を含むか否かで開区間と閉...

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2025.06.25

複素解析

集合論③・微分積分①・複素解析① 区間とは

区間とは区間とは実数全体の集合$\mathbb{R}$の部分集合$I$で，任意の$x,y\in I$と$z\in \mathbb{R}$に対して，$x<z<y$ならば$z\in I$という条件を満たすものである．両端を含むか否かで開区間と閉...

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2025.06.25

集合論④・複素解析② 複素数の導入

集合論①の続きでもあるが，集合論①では実数全体の集合の部分集合として見ていったものを，今度は自然数から新たな数を導入することによって複素数の集合を考えていく．自然数の集合$\mathbb{N}$自然数は\であるが，この自然数全体のなす集合を...

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2025.06.29

微分方程式・超幾何関数

微分方程式-1 2階線形同次微分方程式

少しずつ微分方程式（とくに超幾何微分方程式）に関するいろいろな話題を書きたい……．2階線形同次微分方程式の基礎2階線形同次微分方程式とは，$$y^{''}+a(x)y'+b(x)y=0$$の形の微分方程式のことである．解法を説明する前に次の...

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2025.12.19

幾何学

準備中…

確率・統計学

準備中…

その他

因数分解の公式①

2次式の因数分解$ax^2+bx+c=(\alpha x+\beta)(\gamma x+\delta)$，ただし，$a=\alpha+\gamma$，$b=\alpha\delta+\beta\gamma$，$c=\beta\delta$...

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2025.06.21