微分方程式-1 2階線形同次微分方程式

少しずつ微分方程式（とくに超幾何微分方程式）に関するいろいろな話題を書きたい……．

2階線形同次微分方程式の基礎

2階線形同次微分方程式とは，$$y^{”}+a(x)y’+b(x)y=0$$の形の微分方程式のことである．解法を説明する前に次の定理を示そう．

• 一般解：いくつかの任意定数を含む解．
• 特殊解：一般解の任意定数を特定の値で固定することによって得られる解．
• 特異解：一般解の任意定数をどのように選んでも得られない解．

【定理の証明】特殊解$y_1,y_2$について$$y_1^{”}+a(x)y’_1+b(x)y_1=0$$$$y_2^{”}+a(x)y’_2+b(x)y_2=0$$が成り立つ．ここで任意定数$C_1,C_2$を用いて$y=C_1y_1+C_2y_2$とする．そうすると\begin{align*}y^{”}+a(x)y’+b(x)y&=(C_1y_1^{”}+C_2y_2^{”})+a(x)(C_1y’_1+C_2y’_2)+b(x)(C_1y_1+C_2y_2)\\&=C_1(y^{”}_1+a(x)y’_1+b(x)y_1)+C_2(y^{”}_2+a(x)y’_2+b(x)y_2)\\&=0\end{align*}であるから，$y=C_1y_1+C_2y_2$もこの2階線形同次微分方程式の解である．（証明終）

定数係数2階線形同次微分方程式の解法

2階線形同次微分方程式$$y^{”}+a(x)y’+b(x)y=0$$の一般解を求めよう．まず，定数係数の場合，つまり$$y^{”}+ay’+by=0$$を考える．$y=e^{\lambda x}$を代入すると$$\lambda^2e^{\lambda x}+a\lambda e^{\lambda x}+be^{\lambda x}=0$$となる．$e^{\lambda x}>0$より両辺$e^{\lambda x}$で割ると$\lambda$に関する2次方程式$$\lambda^2+a\lambda+b=0$$が得られる．この2次方程式のことを微分方程式の特性方程式という．この特性方程式の判別式$$D=a^2-b$$によって次の3通りに分かれる．

1. $D>0$：相異なる2つの実数解$\lambda_1,\lambda_2$をもつ．
2. $D=0$：重解$\lambda_1$をもつ．
3. $D<0$：2つの共役複素数解$\lambda_1,\lambda_2$をもつ．

これらを順に説明していく．

特性方程式が相異なる2つの実数解をもつとき（$D>0$）

特性方程式が相異なる2つの実数解$\lambda_1,\lambda_2$をもつときには簡単で，先に示した重ね合わせの原理のとおり一般解は$$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$$となる．

特性方程式が重解をもつとき（$D=0$）

特性方程式が重解$\lambda_1$をもつときには，特性方程式を解くだけでは特殊解が$e^{\lambda_1x}$しか得られない．そこでもう1つの特殊解を$y=u(x)e^{\lambda_1x}$と仮定する．これを微分方程式$y^{”}+a(x)y’+b(x)y=0$に代入すると\begin{align*}&(u^{”}(x)e^{\lambda_1x}+2u'(x)\lambda_1 e^{\lambda_1x}+u(x)\lambda_1^2e^{\lambda_1x})\\&\quad +a(x)(u'(x)e^{\lambda_1x}+u(x)\lambda_1e^{\lambda_1x})+b(x)u(x)e^{\lambda_1x}=0\end{align*}となり，これを整理すると\begin{align*}&u^{”}(x)e^{\lambda_1x}+(a(x)+2\lambda_1)u'(x)\lambda e^{\lambda_1x}+(\lambda_1^2+a(x)+b(x))u(x)e^{\lambda_1x}=0\end{align*}となるので$u^{”}(x)=0$である．よって，$u(x)=Ax+B$であり，もう一つの特殊解は$$y=(Ax+B)e^{\lambda_1x}$$である．一般解は先に示した重ね合わせの原理より2つの特殊解の線形結合で書けるので$$y=C_1xe^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_1x}$$である．

特性方程式が共役複素数解をもつとき（$D<0$）

特性方程式が共役複素数解$\lambda=p\pm qi$をもつときには特殊解は$e^{px\pm qxi}$である．オイラーの公式$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$を使えば\begin{align*}e^{px\pm qxi}&=e^{px}(\cos qx \pm i\sin qx)\end{align*}である．ここで重ね合わせの原理より\begin{gather*}\frac{1}{2}(e^{px+qxi}+e^{px-qxi})=e^{px}\cos qx\\\frac{1}{2i}(e^{px+qxi}-e^{px-qxi})=e^{px}\sin qx\end{gather*}であるから，一般解は$$y=e^{px}(C_1\cos qx+C_2\sin qx)$$となる．

定数係数でない2階線形同次微分方程式の解法？ – 階数低減法

小見出しに「解法？」と書いているように定数係数でない場合，すなわち$y^{”}+a(x)y’+b(x)y=0$の一般的な解法は存在しない．ここでは特殊解のうち1つがわかるとき，2つ目の特殊解を求める方法に階数低減法というものがある．ここでは階数低減法による解法について説明する．

特殊解$y_1(x)$がわかっているとき，$y(x)$を$y(x)=y_1(x)u(x)$とする．これを微分方程式$y^{”}+a(x)y’+b(x)y=0$に代入すると\begin{align*}&(y^{”}_1(x)u(x)+2y’_1(x)u'(x)+y_1(x)u^{”}(x))\\&\quad +a(x)(y’_1(x)u(x)+y_1(x)u'(x))+b(x)y_1(x)u(x)=0\end{align*}となり，これを整理すると\begin{align*}&y_1(x)u{”}(x)+(2y’_1(x)+a(x)y_1(x))u'(x)\\&\quad+(y^{”}_1(x)+a(x)y’_1(x)+b(x)y_1(x))u(x)=0\end{align*}であるが，$y^{”}_1(x)+a(x)y’_1(x)+b(x)y_1(x)=0$よりこれは\begin{align*}&y_1(x)u{”}(x)+(2y’_1(x)+a(x)y_1(x))u'(x)=0\end{align*}であることと等しい．これは$u'(x)$についての1階線形微分方程式であるのであとはこの微分方程式を解けば一般解が得られる．