対称群の定義
$\Omega_n=\{1,2,3,\dots,n\}$として$\Omega_n$から$\Omega_n$への全単射全体の集合を$S_n$とおく．$S_n$は写像の合成に関して群になる．この群$S_n$を$n$次対称群という．
部分群の定義
群$G$の空でない部分集合$H$が$G$の二項演算によって群になるとき，$H$を$G$の部分群という．
群$G$とその部分群$H$の単位元は一致する？
【定理】群$G$とその部分群$H$の単位元は一致する．
【証明】$G$の単位元を$e$，$H$の単位元を$e’$とする．$e’$の$G$における逆元$x\in G$をとれば\[ e’x=xe’ =e \]より\[ e’=ee’=(xe’)e’=x(e’e’)=xe’=e \]となるので，\[ e’=e \]がわかり，群$G$とその部分群$H$の単位元は一致する．
群$G$とその部分群$H$の逆元は一致する？
【定理】群$G$とその部分群$H$の逆元は一致する．
【証明】$a\in H$の逆元を$a’$，$G$での$a$の逆元を$a^{”}$とする．そうすると\[ aa’=aa^{”}=e \]であるから，\[a’ =a’e=a'(aa^{”})=(a’a)a^{”}=ea^{”}=a^{”} \]であり，\[a’ = a^{”}\]なので，群$G$とその部分群$H$の逆元は一致する．