群論① 群の定義・可換群（アーベル群）

群の定義

集合$G(\neq \varnothing)$に対して二項演算$\cdot$が定められていて，以下3つの条件をすべて満たすとき，$G$（二項演算と合わせて$(G,\cdot)$）を群という．

【結合法則】任意の$a,b,c\in G$に対して\[ (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c) \]が成り立つ．
【単位元の存在】ある$e\in G$が存在して，任意の$a\in G$に対して\[ a\cdot e=e\cdot a=a \]を満たす．このときの$e$を$G$の単位元という．
【逆元の存在】任意の$a\in G$に対して，ある$b\in G$が存在して，\[ a\cdot b=b\cdot a=e \]となる．このときの$b$を$G$の逆元といい，$a^{-1}$と書く．

なお，以降は二項演算の記号$\cdot$を省略して書く．

【定理】群$G$に対し，単位元はただ一つだけ存在する．

【証明】単位元が仮に2つあるとして，それを$e, e’$と書く．単位元$e$に対して\[ ee’=e’ \]が成り立つ．一方，単位元$e’$に対し\[ ee’ =e \]なので\[ ee’=e=e’\]である．よって\[ e=e’ \]となり，単位元はただ一つであることがわかる．

【定理】任意の$a\in G$に対し，逆元はただ一つだけ存在する．

【証明】$a$の逆元が仮に2つあるとして，それらを$b$，$b’$とする．そうすると\[ b=eb=(b’a)b=b'(ab)=b’e=b’ \]なので\[ b=b’ \]であることから，任意の$a\in G$に対して，逆元はただ一つであることがわかる．

【定理】任意の$a\in G$に対し，$(a^{-1})^{-1}=a$である．

【証明】まず$aa^{-1}=a^{-1}a=e$である．このとき$a^{-1}=c$とおくと\[ a=c^{-1} \]である．ここでの$c$は$a^{-1}$だったので\[a=c^{-1}=(a^{-1})^{-1} \]である．

任意の$a,b\in G$に対して\[ ab = ba \]を満たすとき，$G$を可換群やアーベル群という．

群$G$の元（要素）の個数を$G$の位数といい，$|G|$で表す．